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“几何有两大宝藏；一是毕达哥拉斯定理；另一种是将一条线分为极端和平均比率。第一个我们可以比作金子；第二，我们可以命名一颗珍贵的宝石。' 约翰内斯·开普勒

斐波那契，也被称为比萨的莱昂纳多，是一位生活在 1175 年至 1250 年间的数学家。在意大利语中，斐波那契这个名字的意思是“博纳奇之子”。在欧洲数学发展几乎停滞的时期，斐波那契随父亲出差，访问了许多阿拉伯和东方国家。

Fibonacci 的父亲帮助 Fibonacci 在他去的国家继续他的教育，并让他参加穆斯林学者的数学课程。斐波那契喜欢穆斯林学者使用的数字系统，因为它既美观又简单。然后他决定将他获得的信息传播到整个欧洲。数字系统斐波那契点差是我们现在使用的数字系统。

当斐波那契回到意大利后，他很快将自己的知识传授给了一本名为算盘书到1202年为止。在书中，斐波那契大致介绍了穆斯林学者使用的数字系统。然后，他为刚刚开始学习这种数字系统的欧洲人进行了四次简单的数学运算。事实上，斐波那契走得更远，在他的书中加入了有关代数和几何的信息。对于那些感兴趣的人，你可以在这里获得斐波那契的 Liber Abaci 书。

人性通常是不愿改变的，并且会为阻止它而斗争，这对于生活在我们之前1000年的人类来说也是如此。这就是为什么一开始欧洲人和意大利人反对斐波那契的书。然而，欧洲人和中东之间不断发展的贸易联系迫使他们学习这种新的数字系统。

然而，让斐波那契今天如此出名的并不是他的书《算盘书》。这是一个关于兔子的智能问题，有助于为数学奠定基础，而斐波那契的问题就像下面的问题。

假设你的朋友给了你一对小兔子，一公一母。这些兔子在第二个月的月底就长大成人，每个月繁殖一公一母。他们繁殖的那对兔子在第二个月末长大成人，并开始每个月繁殖一雄一雌。模式是这样的。那么每个月底会有多少只兔子呢？

尽管这个问题一开始看起来很难，但解决它就是解决一个简单的代数问题。第一的;

让x代表将有后代的对，并且

让y代表太小不能生育的后代对。然后，

让我们用F_n表示每个月n后的兔子夫妇数。这意味着我们可以这样计算前几个月：

y 1 = F_1 x 1 = F_2 xy 2 = F_3 xyy 3 = F_4 xyxyy 5 = F_5 xyyxyxy 8 = F_6 ............ ......

如果我们继续这种模式，我们将获得这样的序列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ,2 1, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...。如果您已经注意到，我们通过将它前面的两个数字相加来找到序列中的下一个数字。归根结底，这些是斐波那契数列，我们将此模式称为斐波那契数列，我们可以像下面的示例一样制定它。

对于 n>2 ，F_0 = 1 F_1 = 1 F_n = F_n-1 + F_n-2。

然而，这并不是斐波那契数列的唯一不同之处。如果我们在模式中使用数字，我们会得到许多不同的结果。例如，我们可以将每个数字除以序列中前面的数字。

如果我们说：1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, …, F_n+1/F_n，然后把答案写在一个新的模式，我们会得到这样的东西：1、2、1.5、1.6、1.625、1.6153、……、1.618……、1.618……、1618……、……

如您所见，在一个点之后，序列以 1.618 的形式继续。这个数字在数学上相当于黄金比例，为数学家所熟知，是大众数学中最大的数据之一。20世纪初，詹姆斯·马克·巴尔首次使用希腊字母φ（Phi）代替无穷大的数字1.618。Φ = 1.618 …

那么当斐波那契数列趋于无穷大时，我们如何确定这个黄金比例存在呢？我们怎么知道将十亿和第一个数除以序列的第十亿个数时，我们会得到几乎相同的比率？因为我们可以用许多不同的数学方法来证明这一点。

用斐波那契数列的极限证明黄金比例

我们的主张是这样的；

如果我们认为斐波那契数列有一个极限并将其称为L，那么随着n趋于无穷大， (F_n+1)/(F_n)的极限将是L= 1.618 ...

这个极限很容易证明。也就是说，如果我们写n+1而不是n。

在斐波那契数列中，F_n+2是它之前的两个数字F_n和F_n+1的加法。所以

我们可以将解写为L²= L+1。如果我们进一步简化这个方程，我们将得到L²-L-1=0的二次方程。 通过解决这个问题，我们会得到

因此，如果我们按照斐波那契数列无穷大，一个点后相邻的两个数字的比率将始终从 1.618 开始

斐波那契和黄金矩形

斐波那契数列过去曾用于艺术和设计。古希腊建筑师认为，人眼的宽度和高度之间存在某种比例更容易被注意到，人们更喜欢这种比例。你可能已经猜到了，这个比率等于 ϕ 或 1.618……例如，帕台农神庙就是按照这个比率建造的。

生活在 1800 年代初期的实验心理学先驱之一古斯塔夫·费希纳 (Gustav Fechner)做了一个实验，他向一群人展示了不同的矩形，大多数人选择了具有黄金比例的矩形。今天，许多书籍、iPad 和平板电脑仍按此比例设计。

但是我们如何在矩形中找到这个黄金比例或 ϕ 呢？

假设两点 A 和 B 之间有一条直线，直线长度为 |AB|。我们还可以在两个 A 点和 B 点之间选择一个 C 点。那么应该知道|AC|= x 和|CB| = y。

现在让我们证明|AB|/|AC| 和|AC|/|CB| 比率等于ϕ或黄金比例。首先，让我们尝试使x和y比率等于上述比率。所以，|AB|/|AC| 将等于(x+y)/x和|AC|/|CB| 将等于x/y。现在我们需要找到满足方程式(x+y)/x = x/y和比率x/y或 ϕ 的值。

如果我们将等式(x+y)/x = x/y交叉相乘，我们将得到等式xy + y² = x²。因为我们试图找到x/y比率，所以我们将整个方程除以y²，使方程归结为x/y + 1 = (x/y)²。如果我们写 ϕ 而不是x/y，方程将变为ϕ + 1 = ϕ²。如果我们把它写成标准形式，那就是ϕ² — ϕ — 1 = 0。要找到上面方程的根，我们需要使用下面的二次公式。

要应用二次公式，我们需要找到 a、b 和 c 值。对于等式ϕ² — ϕ — 1 = 0，值将为a=1、b=-1和c=-1。

我们找到了两个答案，一个是肯定的，一个是否定的。但是，由于我们的x和y值为正， x/y的答案必须为正。做答案：

φ= (1+√ 5)/2 = 1.618…

我们再次使用一个简单的矩形获得了黄金比例。